auf diesem webspace funktionieren beide Möglichkeiten (mysqli und mysql).
Bevor du nun aber beginnst, dich mit mysqli zu beschäftigen, rate ich dir eher, dich mit pdo-Treibern (mysql-pdo) zu beschäftigen. In der kommenden php -Version 6 werden die pdo-Treiber der empfohlene Standart für den Zugriff auf Datenbanken sein. Der Vorteil dieser pdo-Treiber ist, dass sie gemeinsame Schnittstellen nutzen. Dadurch ist die Migration von einem Datenbankmanagementsystem auf ein anderes wesentlich einfacher möglich, als bisher.
Mysqli und Mysql werden allerdings auch unter php6 weiterhin unterstützt. Der Unterschied zwischen mysqli und mysql-pdo ist relativ gering (beide objektorientiert).
Besonders ungünstig an mysqli finde ich, dass es nicht möglich ist, presistente Verbindungen zum DBMS aufzubauen. Allgemein wird zwar aus berechtigtem Grund davon abgeraten, presistente Verbindungen überhaupt zu nutzen, hin und wieder gibt es jedoch spezielle Anwendungsfälle, in denen solche Verbindungen von Vorteil sind.
Unter mysql und mysql-pdo ist es hingegen möglich, presistente Verbindungen herzustellen (auch wenn aus triftigen Gründen generell von deren Verwendung abgeraten wird).
Prinzipiell lassen sich aber eigentlich alle Aufgaben von beiden Varianten umsetzen. Mysqli bietet von sich aus etliche Informationen (vorallem Metainformationen) mehr direkt über/in php an. Ich habe aber bisher weniges gefunden, was sich nicht auf dem Umweg über sql und einer zusätzlichen Query unter mysql über die Datenbank abfragen ließe.